1. Просрочка по оплате аренды доменного имени.
Киберсквоттеры не упустят момент и оформят домен на себя. Уступить вам права согласятся только за существенное вознаграждение.
Придется выбирать - соглашаться на их условия или зарегистрировать другой домен.
Часто смена доменного имени сайта - не критично, но создает лишние хлопоты. 
Это отразится на позициях сайта в поиске. Возможно, понадобится оповестить клиентов о том, что адрес сайта поменялся. Потребуется изменить адрес сайта на корпоративной продукции: визитных карточках. каталогах и прочем.

2. Просрочка по оплате хостинга (места на сервере, отведенного под сайт).
В этом случае последствия гораздо серьезнее. После истечения определенного времени, хостер удалит сайт, а спустя еще какие-то время и все его резервные копии. 
Если у вас нет в наличии резервной копии, то сайт восстановить не получится.
Если копия есть, но например, она устаревшая, потребуется сначала восстановить сайт, затем внести все недостающие изменения.

Такие внештатные ситуации всегда связаны с затратами нервов, времени, сил и денег. Потому их лучше избегать и ответственно следить за сроками оплаты, если не передали сайт на техническое обслуживание разработчику.

Случай из практики менеджер сайта популярной европейской певицы заболела и не смогла своевременно заплатить за домен. Его сразу перекупили киберсквоттеры и озвучили стоимость за возврат прав - 1500 евро. 
Клиентке мы объяснили, какие варианты возможны помимо этого, она выбрала зарегистрировать аналогичный домен в другой международной зоне и подключить сайт к нему.